jsMath

Sustavi nelinearnih jednadzbi

""" Aleksandar Milkovic """ 
       
# Sustavi nelinearnih jednadžbi 
       
# 1. Rješavanje simbolički korištenjem funkcije solve(); u praksi jedino radi nad jednostavnim sustavima ! 
       
var('x y z') 
        
(x, y, z)
eq1 = x^2+y^2==11 
       
eq2 = sqrt(x)-y^3==13 
       
solve([eq1,eq2],[x,y]) 
        
[[x == 2.43369890329, y == -2.25324419976], [x == (-3.70557044938 -
0.678918482901*I), y == (1.27470173064 - 1.97362269722*I)], [x ==
(3.72178172825 - 0.574750273542*I), y == (1.1055676034 +
1.93483877403*I)], [x == (3.72178172825 + 0.574750273542*I), y ==
(1.1055676034 - 1.93483877403*I)], [x == (-3.70557044938 +
0.678918482901*I), y == (1.27470173064 + 1.97362269722*I)]]
sol = solve([eq1,eq2],[x,y], solution_dict=True) 
       
[[s[x].n(24),s[y].n(24)] for s in sol] # ispisuje sve parove rješenja 
        
[[2.43370, -2.25324], [-3.70557 - 0.678918*I, 1.27470 - 1.97362*I],
[3.72178 - 0.574750*I, 1.10557 + 1.93484*I], [3.72178 + 0.574750*I,
1.10557 - 1.93484*I], [-3.70557 + 0.678918*I, 1.27470 + 1.97362*I]]
[s[x] for s in sol] # ispisuje samo rješenja x-a 
        
[2.43369890329, -3.70557044938 - 0.678918482901*I, 3.72178172825 -
0.574750273542*I, 3.72178172825 + 0.574750273542*I, -3.70557044938 +
0.678918482901*I]
# 2. Numeričko rješavanje 
       
# 1. primjer 
       
jd1 = sin(x)+cos(y)==1 
       
jd2 = x^2-y^2==1 
       
solve([jd1,jd2],x,y) # vidimo da ne daje rješenje 
        
[x^2 - y^2 == 1, sin(x) + cos(y) == 1]
f(x,y) = sin(x)+cos(y)-1==0 
       
implicit_plot(f,(x,-10,10),(y,-10,10),color="red").show(aspect_ratio=1) # funkcija implicit_plot crta implicitno zadanu funkciju 
       
g(x,y) = x^2-y^2-1==0 
       
implicit_plot(g,(x,-10,10),(y,-10,10),color="red") 
       
h(x,y) = f(x,y)^2+g(x,y)^2 
       
h 
        
(x, y) |--> (sin(x) + cos(y) - 1)^2 + (x^2 - y^2 - 1)^2 == 0
m = minimize(h,[.1,.2], disp=0) # disp=0 služi kako minimize ne bi prikazo inače prikazive informacij o optimizacijskom procesu 
       
m1 = m[0]; m2 = m[1] 
       
m1,m2 
        
(1.83328733261, -1.53653593604)
# provjera rezultata 
       
h(m1,m2) 
        
(1.35554783078e-13) == 0
f(m1,m2) 
        
(2.8019153659e-07) == 0
g(m1,m2) 
        
(-2.38846155298e-07) == 0
m1^2-m2^2 
        
0.999999761154
sin(m1)+cos(m2) 
        
1.00000028019
# 2. primjer 
       
a1 = 2*x-y-6*ln(y)-3==0 
       
a2 = 15*x-10*y-60*ln(y)-6==0 
       
#solve([a1,a2],[x,y]) #kada bi ovo probali izračunati worksheet bi se smrznuo 
       
t1(x,y) = a1 
       
implicit_plot(t1,(x,-10,10),(y,0,10)) 
       
t2(x,y) = a2 
       
implicit_plot(t2,(x,-10,10),(y,0,10)) 
       
t(x,y) = t1(x,y)^2+t2(x,y)^2 
       
t 
        
(x, y) |--> (2*x - y - 6*log(y) - 3)^2 + (15*x - 10*y - 60*log(y)
- 6)^2 == 0
n = minimize(t,[.1,.2]) # ovdje vidimo da bez disp=0 Sage ispisiju informacije o optimizacijskom procesu 
        
Optimization terminated successfully.
         Current function value: 0.000000
         Iterations: 43
         Function evaluations: 50
         Gradient evaluations: 50
n1 = n[0]; n2 = n[1] 
       
n1,n2 
        
(4.8000000216, 2.11256967106)
# provjera 
       
t(n1,n2) 
        
(2.02350929876e-16) == 0
t1(n1,n2) 
        
(1.16220251201e-08) == 0
t2(n1,n2) 
        
(8.20240586563e-09) == 0
# osim gore navedene metode numeričkog računanja (koja je vrlo jednostavna i shvatljiva), mogu se primjeniti i # neke od metoda koje smo naučili ranije na Numeričkoj matematici poput Newtnove, itd..